大学物理机械振动（全部干货都有，收藏一次到位）

腹黑的黄瓜

第1章机械振动
(一)简谐振动的定义(简谐振动的判据)
1.简谐振动的运动学定义：物体离开平衡位置的位移满足 x=Acos(ωt+φ₀)
2.简谐振动的动力学定义：物体受到的合外力满足 F=-kx (k常数)
3.用运动微分方程定义：
d2xdt2+ω2x=0
由这一定义可以推广简谐振动的概念：一个物理量x(可以是力学量、电学量、磁学量等)如果满足上述微分方程，就可称物理量x作简谐振动.
(二)简谐振动的三个特征量
1.振幅A：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值，其值由振动的初始条件
(即t=0时物体的位移x₀和速度v₀)决定
A=x02+(v0ω)2;
2.频率v(圆频率ω、周期T)：表征物体振动的快慢，由振动系统的固有性质决定，三者之间的关系为
T=2πω,v=ω2π
3.相位 φ=ωt+φ₀ (初相位φ₀)
①相位完备地描述质点的振动状态，振动状态和相位之间一一对应，也就是说知道了任一时刻质点振动的相位，就知道了这一时刻质点的位置、速度和加速度.关于这一点可从位移、速度和加速度的表达式中看出：
x=Acos(ωt+φ₀), v=-ωAsin(ωt+φ₀),a=-ω²A cos(ωt+φ₀); 其中初相由初始条件决定
φ0=arctan⁡(−v0ωx0).
②相位可用来比较两个同频率简谐振动的步调。设有两个简谐振动
x₁=A₁cos(ωt+φ₁),x₂=A₂cos(ωt+φ₂),
则两者间的相位差与步调的关系为
相位差△φ=φ₂-P₁                  步调
△φ=2kπ(k∈z)                步调一致（同相）
△φ=(2k+1)π(k∈z)         步调相反（反相）
0<φ₂-φ₁<π                       振动2超前振动1
-π<9:-φ₁<0                       振动2落后振动1
(三)简谐振动的描述方法
当采用某种方法描述简谐振动时，此方法必须能很好地体现简谐振动的三个特征量.
1.解析法: x=Acos(ωt+φ₀)
2.曲线法(x-t曲线)
如图1.1所示，x-t曲线的峰值表示振幅；运动状态完全相同的最邻近两点之间的时间间隔表示周期；t=0时，x₀以及v₀的正负可以确定初相位。
x A x₀0 t -A图1.1
3.旋转矢量法
表示方法如图1.2所示.在旋转矢量法中很直观地体现了简谐振动的三个特征量：旋转矢量.
A→
的模表示振幅A：任意t时刻，旋转矢量.
A→
与x轴的夹角ωt+φ₀表示t时刻的相位；旋转角速度ω表示圆频率.
x A x₀0 t -A图1.1
注意：用旋转矢量法能够很方便地判断振动的相位，关于这一点将在习题解答与分析中加以说明，请务必掌握。
(四)简谐振动的能量特征
1.振子的动能
Ek=12mv2=12mω2A2sin2⁡(ωt+φ0)
2.振子的势能
Ep=12kx2=12kA2cos2⁡(ωt+φ0)
3.振子的总能
E=Ek+Ep=12kA2
结论：①振动系统的动能和势能是时间的周期函数，其周期为位移周期的一半。②在振动过程中，系统的动能和势能相互转换：动能最大时，势能最小；动能最小时，势能最大.在整个过程中系统的机械能守恒.
(五)简谐振动的合成
1.同方向、同频率简谐振动的合成： ₁₁₁₀₂₂₂₀
x₁=A₁cos(ωt+φ₁₀),x₂=A₂cos(ωt+φ₂₀);
合振动：x=A cos(ωt+φ₀)(仍为简谐振动，且与分振动的频率相同)
其中
A=A12+A22+2A1A2cos⁡(φ20−φ10),φ0=tan−1⁡A1sin⁡φ10+A2sin⁡φ20A1cos⁡φ10+A2cos⁡φ20;
相位差△ρ＝φ₂₀－φ₁₀             合振幅
△φ=2kπ(k∈z)                    A=Amax=A₁+A₂
△φ=(2k+1)π(k∈z)             A=Amin=|A₁-A₂|
△φ为其他值时                     Amin<A<Amax
明
2.同方向、不同频率简谐振动的合成
₁₁₁₀₂₂₂₀
x₁=Acos(ω₁t+φ₁₀),x₂=Acos(ω₂t+φ₂₀),
合振动：
x=2Acos⁡(ω2−ω12t+φ20−φ102)cos⁡(ω2+ω12t+φ20+φ102)
①合振动不是简谐振动；
②若 ω₂≈ω₁, 即 ω₂+ω₁>>|co₂-ω₁|. 合振幅
A(t)=2Acos⁡(ω2−ω12t+φ20−φ102);
合振动是振幅随时间缓变的准简谐振动——拍振动.拍频为 v=|v₂-v₁|o
3.相互垂直的同频率简谐振动的合成
₁₁₀
x=A₁cos(ωt+φ₁₀),
₂₂₀
y=A₂cos(ωt+φ₂₀),
合运动的轨道方程：
x2A12+y2A22−2xyA1A2cos⁡(φ20−φ10)=sin2⁡(φ20−φ10)
△φ=0(π)                   合运动的轨道:第1、3(2、4)象限内的直线
△φ=π/4(-π/4)         合运动的轨道:第1、3象限顺(逆)时斜椭圆
△φ=π/2(-π/2)         合运动的轨道：顺（逆）时针旋转正椭圆
△φ=3π/4(-3π/4)      合运动的轨道:第2、4象限順(逆)时斜椭圆